JAZYK, MAGIE & MATEMATIKA

Jaroslav Peregrin

 

Signum veri

Je potěšením stát na břehu a vidět lodě, jak vyplouvají na moře; je potěšením stát v okně hradu a pozorovat bitvu a její zápletky dole; avšak žádné potěšení se nevyrovná tomu, když stojíme na vyvýšené půdě pravdy ... a vidíme chyby, omyly, zmatení a bouře v údolí pod námi.

Francis Bacon

 

To, co říkáme, je pravdivé či nepravdivé. (Často ovšem říkáme i věci, o kterých se něco takového nedá jednoznačně říci, nebo u kterých na tom nezáleží – na druhé straně může někdy na pravdivosti či nepravdivosti toho, co říkáme, záviset třeba i náš život.) A lidské teoretické poznání může být zřejmě vůbec nahlédnuto jako zjišťování, které věty jsou pravdivé a které nepravdivé.

     Jak zjistíme, zda je nějaká věta pravdivá? To očividně záleží na tom, o jakou větu se jedná: v případě věty „Venku prší“ se prostě podíváme z okna; v případě „Prvním prezidentem USA byl Abraham Lincoln“ nejspíše nahlédneme do nějaké učebnice dějepisu; zatímco v případě „3587 ´ 13 = 46631“ se pustíme do počítání. V některých případech může ovšem ověření pravdivosti věty vyžadovat téměř nadlidské úsilí: viz třeba „Na Marsu existuje život“ nebo „Každé číslo větší než dvě je součtem dvou prvočísel“. (Ta poslední uvedená věta je známa jako tzv. Goldbachova domněnka, a přes několikasetleté úsilí matematiků se ji nepodařilo ověřit.)

     Nemohli bychom se ale pravdivosti dostat na kobylku nějakou zkratkou? Nemohli bychom jazyk nějak zmáčknout, aby nám vydal tajemství pravdivosti svých vět nějak rovnou, aniž bychom kvůli tomu museli sestrojovat rakety k cestování na Mars či se po staletí potýkat s výpočty? Takovému nápadu se zřejmě staví do cesty fakt, že jazyk sám nemůže ‘vědět’, které z jeho vět jsou pravdivé: pravdivost mnohých vět se totiž zřejmě mění v závislosti okolnostech, které s ním nemají nic společného. Tak třeba věta „Venku prší“ může být dopoledne pravdivá a odpoledne nepravdivá (nemluvě o závislosti na místě, kde je užita), aniž se přitom sama nějak změní. Takže snažit se zjistit něco o pravdivosti takové věty zkoumáním jazyka by bylo jako vyslýchat svědka, který ve skutečnosti nikdy nebyl na místě činu.

     Některé věty však pravdivostní hodnoty nemění – jsou pravdivé nebo nepravdivé jednou provždy. Například matematické teorie se skládají pouze z vět tohoto druhu; avšak z podstatné části se z nich skládají i ostatní vědy a filosofie. Nebylo by tedy možné alespoň z takovýchto vět nějak jejich pravdivost vymámit?

     Věta samozřejmě nemá to, zda je pravdivá či nepravdivá, napsáno na nose – kdyby tomu tak bylo, dokázali bychom okamžitě vidět pravdivost jakékoli věty, jakmile bychom ji dokázali formulovat. (A tak bychom také okamžitě dokázali odpovědět na jakoukoli otázku, alespoň otázku zjišťovací, to jest takovou, na jakou je odpovědí ano nebo ne.) Tím se pravdivost věty liší od jiných vlastností, které na nose napsány má: na první pohled například vidíme, zda je dlouhá, že začíná tím a tím písmenem a podobně. Z tohoto hlediska můžeme věty přirovnat k lidem: ti mají také jednak vlastnosti, které na nich jsou bezprostředně patrné, a jednak ty, které na nich vidět nejsou. (Tak například na první pohled vidíme, zda je někdo vysoký, brýlatý, či vousatý; avšak nevidíme, zda je obětavý, moudrý, či lstivý.) U lidí to vnímáme tak, ty první jsou záležitostí jejich zevnějšku, zatímco ty druhé jsou věcí jejich ‘nitra’. U jazyka spíše hovoříme v případě těch prvních o vlastnostech syntaktických, zatímco těm druhým říkáme sémantické. (Jak jsem konstatoval na jiném místě[1], nemusí být ani u jazyka nepřípadné vidět sémantické vlastnosti jako jsoucí někde uvnitř; a jazyk tedy jako něco co má jakýsi vnitřek – v tomto případě vnitřek, do kterého mohu proniknout, a to tak, že si příslušný jazyk osvojím.)

     Zjišťování ‘vnitřních’ vlastností lidí kolem nás je ovšem podstatnou součástí života a komunikace s nimi. Přijdu-li s někým do styku, pak se samozřejmě snažím dobrat toho, jaký ten člověk je – a moje úspěšné fungování v rámci lidské společnosti se do velké míry odvozuje od toho, jak se mi toto daří (například jak dokážu rozpoznat, kdo je ke mně upřímný a kdo se mě snaží podvést.) Protože však ‘do nitra’ jiných lidí se jen tak dostat nedokážu, nemohu jejich ‘vnitřní’ vlastnosti zjišťovat přímo – a snažím se naučit je odhadovat pomocí jejich vlastností ‘vnějších’, viditelných, třeba pomocí výrazů jejich tváří.

     Myšlenka vymámení tajemství pravdivosti vět přímo z jazyka, na kterou jsme připadli výše, tedy nabývá následující, hmatatelnější podoby: nebylo by možné nějak usuzovat na ‘vnitřní’ (tedy sémantické) vlastnosti výrazů jazyka, zejména na pravdivost vět, z jejich ‘vnějších’ (tedy syntaktických) vlastností? Nemohli bychom, alespoň v případě vět, které jsou pravdivé (či nepravdivé) neměně, identifikovat nějaké signum veri, které by bylo viditelnou charakteristikou těch pravdivých?

     Avšak i když se omezíme na neměně pravdivé věty, zdá se, že náš nápad nemůže být uskutečnitelný v důsledku toho, čemu se od dob de Saussura říká arbitrárnost jazykového znaku: to jest absence jakékoli nutné souvislosti mezi formou výrazu a jeho významem a potažmo jeho pravdivostí či nepravdivostí. Jakýkoli výraz může být v principu vyjádřením čehokoli. Tohle je zřejmě skutečně fatální pro jakékoli pokusy o nalezení nějakého absolutního ‘znaku pravdivosti’, který by fungoval pro jakýkoli možný jazyk. Ale co když se omezíme na náš aktuální jazyk, který je víceméně pevně dán (nebo na nějakou jeho část, či její zjednodušenou, idealizovanou verzi): proč by všechny jeho pravdivé věty nemohly (‘náhodou’) vykazovat nějaký společný znak? Nelze samozřejmě očekávat, že by vykazovaly nějaký tak jednoduchý znak, jakým by bylo třeba začínání stejným písmenem, avšak proč by nemohl existovat nějaký třeba velice komplikovaný postup, jak syntakticky odlišit neměně pravdivé věty od těch ostatních?

     Tohle je samozřejmě projekt mnohem méně ambiciózní než hledání takového ‘znaku pravdy’, který by neomylně prozradil pravdivé věty ve všech, známých i neznámých jazycích; nemohl by však být právě proto méně utopický?

 

 

Šlo by pravdu vypočítat?

Je velmi pravděpodobné, že se v přírodě nachází úžasná mystika čísel ... . Nevykazuje všechno význam, symetrii a podivnou souvislost? Nemůže se Bůh zjevovat i v matematice, tak jako v každé jiné vědě?

Novalis

 

Lidé si již dávno všimli, že čísla mají na rozdíl od jiných entit, se kterými máme co do činění, tu podivuhodnou vlastnost, že je lze pomocí počítání pozoruhodnými způsoby převádět jedna na druhá, a tím se lze dobírat zajímavých a často také velmi užitečných výsledků. Mnozí přemýšlivci si proto lámali hlavy s tím, zda by nebylo možné i jiné věci nějak převést na čísla, nebo s nimi alespoň nějak analogicky jako s čísly ‘počítat’. S touto myšlenkou se v čiré podobě můžeme setkat u pytágorejců, setkáváme se s ní ale i v kabalistické tradici či v rámci různých systémů číselné magie. V raném novověku byla tato myšlenka vzkříšena především jedním z jeho nejznamenitějších matematiků – Gottfriedem Wilhelmem Leibnizem.

     Leibniz uvažoval o tom, že kdyby se nám podařilo vytvořit patřičně uzpůsobený jazyk, mohli bychom dokázat pravdivost jeho vět prostě vypočítávat. Pravdivost věty, uvažoval, je dána vztahy mezi pojmy vyjadřovanými slovy, z nichž se tato věta skládá (tak věta „Pes je savec“ je pravdivá proto, že jsou pojmy pes a savec v určitém vztahu; zatímco věta „Kapr je savec“ je nepravdivá proto, že pojmy kapr a savec v tomto vztahu nejsou). Nebylo by tedy možné, tak jako dokážeme spočítat, zda je jedno číslo dělitelné druhým, také spočítat, zda jsou pojmy v tom vztahu, který znamená pravdivost? Jak to Leibniz ilustruje ve své Elementa characteristicae universalis[2], věta „Člověk je (totéž co) rozumný živočich“ je pravdivá proto, že se pojem člověk skládá z pojmů rozumný a živočich; to znamená, že kdyby se nám podařilo přiřadit pojmům čísla například tak, že by člověk byl 6, rozumný 2 a živočich 3, mohli bychom onen způsob, kterým se člověk skládá z rozumný a živočich vidět jako násobení: 6 = 2 ´ 3.

     Samozřejmě, že by to muselo fungovat pro všechna spojení pojmů. Pak by ovšem, jak Leibniz poznamenává v Accessio ad arithmeticum infinitorum, „nebyl důvod ke sporům mezi dvěma filosofy o nic větší než mezi dvěma počtáři. Vše, co by bylo třeba, by bylo, aby si spolu s perem v ruce sedli ke stolu a řekli si (...) ‘počítejme’“. Mohli bychom tedy nahlédnout pojmy nějak ‘jako čísla’ a pravdivost jako nějakou matematickou vlastnost typu dělitelnosti? Problémem je samozřejmě to, že je zcela nejasné, jakým způsobem by se měla výrazům přiřazovat ona čísla, s nimiž by se pak počítalo, či jakým jiným způsobem by se s výrazy mělo ‘jako s čísly’ zacházet. Ani Leibniz se s tomto směru nedostal dál než k obecným úvahám.

     Leibniz ovšem připadl ještě na jinou myšlenku, která se zdá být poněkud nosnější. V De Organo sive arte magna cogitandi říká: „Nejlepší lék pro mysl spočívá v objevení malého množství myšlenek, ze kterých může postupně vyplývat nekonečno jiných myšlenek, stejně tak jako z malého souboru čísel mohou být odvozena všechna ostatní.“ To ovšem není nic zcela nového: je to jenom oživení myšlenky, jejíž kořeny se táhnou zpět až k Euklidovým Základům geometrie (a která se později stala hybnou silou formální logiky dvacátého století) – myšlenka axiomatické metody. Je to myšlenka, že všechny pravdy jsou pomocí nějakého relativně malého počtu pravidel možné odvodit z nějakého relativně malého počtu základních pravd, axiomů. Tato myšlenka se nezdá být tak obskurní jako myšlenka převádění pojmů na čísla – nemohli bychom se ale k nějakému ‘znaku pravdy’ dostat právě přes ni? Pokud bychom axiomy dokázali rozpoznat čistě podle jejich formy a pokud by se odvozování odehrávalo výhradně podle pravidel vztahujících se opět čistě k formám výrazů, nemohla by se ‘znakem pravdivosti‘ stát právě takováto odvoditelnost?

 

 

Jedovaté houby

Věda je poznáním důsledků a závislosti jednoho faktu na jiném.

Thomas Hobbes

 

Abychom myšlenku axiomatického systému, a zejména její rozpracování v rámci moderní logiky, objasnili, vraťme se k problému vztahu mezi ‘vnitřními’ a ‘vnějšími’ vlastnostmi. Použijeme ovšem nyní přirovnání jazykových výrazů nikoli k lidem, ale k houbám. Také houby mají vlastnosti, o kterých lze hovořit jako o ‘vnějších’ (barva, tvar); ale i takové, které lze vidět jako vnitřní – třeba jedovatost.

     Jak zjistíme, zda je nějaká houba smrtelně jedovatá? Nejjistěji tak, že ji sníme - pokud to přežijeme, pak jistě smrtelně jedovatá nebyla. Jistě bychom ale chtěli mít nějakou jinou odpověď - odpověď, která by nám dovolila o jedovatosti houby rozhodnout, aniž bychom dávali v sázku svůj život.

     Situace by byla jistě jednoduchá, kdyby se jedovatost houby nějak projevovala navenek, kdyby měly například všechny jedovaté houby (a žádné jiné) nějaký zvláštní druh zabarvení. I tady by ale postačilo, kdyby měly všechny jedovaté houby nějaký společný znak zcela náhodou (ne nutně přímo jako projev své jedovatosti). Takový ‘náhodný’ znak by měl ovšem opět oproti znaku ‘přirozenému’ tu nevýhodu, že by nemusel fungovat tehdy, kdyby se objevil nějaký nový, dosud neznámý druh hub – ale pro ty známé by byl naprosto dostačující.)

     Avšak i v případě, že nám příroda v tom smyslu nepřála a neobdařila všechny jedovaté houby žádným jednoduchým, snadno rozpoznatelným znakem, nemusíme zoufat – stačí, když nalezneme nějaký soubor znaků takový, že každý z nich bude znakem jedovatosti (to jest když každá houba, která tento znak má, bude jedovatá, aniž by každá jedovatá houba musela mít právě tento znak). Jedovatou houbu pak poznáme prostě tak, že se podíváme, zda má nějaký z tohoto seznamu znaků. Bude-li možných znaků jedovatosti mnoho, situace se může zkomplikovat po technické stránce, protože může být například obtížné si všechny znaky zapamatovat, a může se tak stát nutné používat nějakou příručku – principiálně to ale stále problém, jak poznat jedovatou houbu a přitom neriskovat otrávení, řeší.

     A uvědomme si, že z předpokladu, že druhů jedovatých hub je konečný počet (a že se od sebe jednotlivé druhy hub rozpoznatelně liší), vyplývá, že tohle uskutečnitelné musí být. Má-li každý druh houby nějaký charakteristický znak (nebo znaky), kterým se liší od ostatních druhů, můžeme na náš seznam prostě uvést charakteristické znaky všech jednotlivých druhů jedovatých hub. Zjednodušeně řečeno, prostě se udělá soupis všech jedovatých hub (s popisy nebo fotografiemi) a řekne se, že houba je jedovatá, shoduje-li se s nějakou z hub na tomto seznamu. To je ostatně v podstatě způsob, jakým jedovaté houby vymezují mykologické příručky.

     Uvědomme si dále, že takto by houby třídit na jedovaté a nejedovaté mohl i někdo, kdo by vůbec nevěděl, že to jsou houby či co to je jedovatost. Takový člověk by dokonce v jistém smyslu mohl být ve výhodnější pozici než někdo, kdo by věděl, o co jde - nebyl by totiž v pokušení se při třídění nechat ovlivnit svým vlastním úsudkem (a například nějakou velice vábně vypadající houbu zařadit mezi nejedovaté, přestože by byla na seznamu).

     Tomu, abychom analogicky udělali seznam všech neměnně pravdivých vět brání fakt, že takových vět je prakticky neomezený, nezvládnutelně obrovský počet. Mohli bychom se ale pokusit vytvořit něco jako ‘potenciální soupis’: sepsat nějaké základní pravdivé věty a najít nějakou metodu, jak tento soupis rozšiřovat o další pravdivé věty takovým způsobem, abychom směřovali k soupisu úplnému. Mohli bychom například konstatovat, že kdykoli máme na seznamu dvě věty, můžeme tento seznam rozšířit o větu, která vznikne spojením těchto dvou vět pomocí spojky „a“. (Takové pravidlo bychom pak mohli uplatňovat opakovaně – třeba až ‘do nekonečna’.)

     Obecně by se tedy náš ‘potenciální seznam’ skládal ze dvou částí: první by byl soupis nějakých základních pravdivých vět a druhou soupis nějakých pravidel, jak dospět od pravdivých vět k jiným pravdivým větám. A právě takovým ‘potenciálním seznamem’ je axiomatický (nebo deduktivní) systém[3], prvky toho prvního soupisu jsou axiomy a prvky toho druhého odvozovací pravidla. Věta, kterou můžeme z axiomů systému dostat pomocí opakovaného užití odvozovacích pravidel se pak nazývá teorémem tohoto systému, a zápis jejího odvození se nazývá jejím důkazem.

     Seznam všech neměnných pravd, tedy nemůžeme – na rozdíl od seznamu všech jedovatých hub – vytvořit. Jediné co dokážeme, je dát dohromady axiomatický systém, jakožto jakýsi ‘generátor’, který by nám takový seznam vygeneroval, kdybychom na to měli nekonečně času. Jestliže však nekonečně času nemáme, nemůžeme si být nikdy jisti, že se na tomto seznamu stihneme dopracovat k hledané pravdě.

     Takový ‘potenciální seznam’ tedy funguje jenom částečně - prověřujeme-li pravdivost nějaké dané věty, můžeme ji porovnávat s postupně generovanými prvky seznamu (tj. teorémy příslušného systému) a pokud se nám ji podaří s nějakým teorémem ztotožnit, máme záruku, že je pravdivá. Pokud se nám to ale nepodaří, nevíme, zda to je proto, že daná věta na seznamu vůbec není, nebo proto, že jsme se k ní dosud jenom nestihli propracovat.

     Axiomatický systém nám tedy nedokáže dát vždy odpověď na otázku, zda je daný výrok z příslušné oblasti pravdivý nebo ne. Je-li tento výrok skutečně pravdivý, pak se takovou odpověď může (ale nemusí) podařit najít; je-li nepravdivý, pak se odpověď zaručeně nenajde. Situace je tedy jiná, než v případě seznamu jedovatých hub, a to zjevně proto, že zatímco druhů jedovatých hub je jenom omezený počet, pravdivých vět je neomezeně. Seznam pravdivých vět tedy nemůžeme vytvořit a tím méně projít – můžeme nanejvýš projít nějakou jeho omezenou část a doufat, že právě v ní se objeví zkoumaný výrok.

     Dá se ovšem předpokládat, že každá věta má negaci – to jest že ke každé větě existuje jiná, která je nepravdivá, právě když je ta původní pravdivá. To znamená, že zjistit, zde je nějaká věta nepravdivá, znamená zjistit, zda je její negace pravdivá. A pokud bychom si mohli být jisti, že námi vytvořený axiomatický systém je úplný v tom smyslu, že pro každou větu oboru, který axiomatizuje, vygeneruje buď ji, nebo její negaci, měli bychom vyhráno: už by nám nehrozil, že při generování seznamu můžeme čekat do nekonečna. Dříve či později bychom museli narazit buďto na zkoumanou větu nebo na její negaci.

     Zdá se tedy, že smyčka, do které hodláme polapit jazyk, aby vydal tajemství pravdivosti, se nakonec přece jenom utahuje. Euklidovi se podařilo zformulovat axiomy geometrie, Giuseppe Peano dal v devatenáctém století dohromady všeobecně přijímané axiomy aritmetiky; a nezdá se být důvod nepředpokládat, že podobně zvládnutelné se ukáží i další partie matematiky, případně další oblasti neměnných pravd.

 

 

David Hilbert a jeho program

Povaha čísla dává poznání a každého vede i poučuje o každé nejasné a neznámé věci. Neboť nikomu by nebyla žádná z věcí jasná, ani sama o sobě, ani ve vztahu k jiné, kdyby nebylo čísla a jeho podstaty.

Filoláos

 

Německý matematik Gustav Hilbert na počátku dvacátého století oprášil pytagorejsko-leibnizovskou myšlenku: dospěl k závěru, že kdybychom věty jazyka očíslovali, mohli bychom odvozovací pravidla transformovat na určité druhy výpočtů, a to, zda něco je nebo není teorémem daného axiomatického systému – a zda je to tedy pravdivé – bychom pak mohli spočítat. Navíc dovozoval, že výpočty, které by k tomu měly být potřeba, by byly v podstatě jednoduché – neměly by přesáhnout úroveň elementární aritmetiky. Tomuto projektu se začalo říkat Hilbertův program.

     Jak bychom mohli výroky vůbec dokázat očíslovat? Jak už jsme na to několikrát poukázali, výroků je jistě více, než abychom je mohli všechny sepsat a ke každému z nich připsat číslo. Výroky se ale skládají ze slov, a těch už je nějaký dosti omezený (i když stále ještě ne malý) počet. Že bychom tedy těmto slovům čísla manuálně přiřadili, představitelné je. Složené výrazy a výroky jsou potom zřetězeními slov; a jim můžeme přiřadit například čísla, která budou nějakými šikovnými zřetězeními čísel jejich složek. Musíme se jenom vyhnout tomu, aby dva různé složené výrazu dostaly stejná čísla: představme si, že by například „svítit“ mělo číslo 8, „slunce“ číslo 13, „padat“ číslo 81 a „sníh“ číslo 3; pak kdybychom složenému výrazu přiřazovali prostě zřetězení čísel jeho složek, bylo by jak číslem věty „Svítí slunce“, tak věty „Padá sníh“číslo 813. Tomu se však lze snadno vyhnout například tak, že zařídíme, aby žádné z čísel přiřazovaných slovům neobsahovalo číslovku 9, a tuto číslovku pak vkládat mezi čísla složek do čísla složeného výrazu. Tímto způsobem by číslem věty „Svítí slunce“ bylo 8913, zatímco číslem „Padá sníh“ by bylo 8193.

     Samozřejmě, že to, jak by nám šlo nebo nešlo počítat, co je z čeho odvoditelné, závisí na tom, jak příhodně se nám výroky podaří očíslovat. Avšak uvědomme si, že kdyby se nám Hilbertův program skutečně podařilo realizovat, znamenalo by to například možnost převedení veškeré matematiky na její nejelementárnější úroveň. Jakmile by se nám totiž podařilo axiomatizovat jakoukoli partii matematiky (a v tom nikdo z matematiků neviděl principiální problém), dokázali bychom jakýkoli problém z této oblasti rozřešit prostě tak, že bychom, pomocí elementárních výpočtů, zjistili, zda je příslušná věta dokazatelná a tedy pravdivá.

     Hilbert bývá často označován za formalistu v tom smyslu, že se soustředil na jazyk jako na formu zbavenou obsahu. Hilbert pak vypadá jako někdo, kdo se snaží rozhodovat o tom, co je dokazatelné, a co je tudíž pravdivé, na základě pouze forem výroků (případě jim přidělených čísel), nikoli, jak by nám velel zdravý rozum, na základě toho, co tyto výroky znamenají; a z tohoto hlediska se zdá, že se pokouši redukovat jazyk (zejména jazyk matematiky, o který mu šlo především) na jakousi ‚formální hru‘. Tento pohled ale vede k pouhé karikatuře toho, o co Hilbertovi skutečně šlo: jeho cílem bylo najít formální kritérium pravdivosti přesně v tom smyslu, v jakém jsme v minulém oddíle uvažovali o ‚formálním‘ kritériu jedovatosti hub. Hilbert se tedy nedomníval, že pravdu dostane ze syntaxe, aniž vezme v úvahu sémantiku; věřil však, že když víme, jak sémantika určuje pravdu, můžeme najít způsob, jak pravdivé věty rozpoznat čistě na základě syntaxe, a tím pak naši praxi ‘hledání pravdivosti‘ diametrálně zjednodušit.

     Kdyby se tedy tento program uskutečnil, měli bychom skutečné signum veri; sice ne takové, které by bylo patrné pouhým okem, ale takové, které by bylo odhalitelné pomocí trochy relativně snadného počítání. Smyčka se dále stahuje. Jenomže jazyk, jak se ukázalo, v ní nevězí tak pevně, jak se nám zdálo. Abychom vysvětlili, proč tomu tak je, musíme se nejprve chvíli věnovat paradoxům, kterými si logikové lámou hlavy již odedávna.

 

 

Teď právě lžu ...

„Ty důvody si protiřečí,“ soudil George.

„To je podstata logického uvažování. Všechny předpoklady jsou v jistém smyslu pravdivé, v jistém smyslu nepravdivé a v jistém smyslu nesmyslné.“

R. Shea & R.A. Wilson: Oko v pyramidě

 

Filosofy už od starověku fascinoval fakt, že se v našem jazyce vyskytují výroky, jejichž pravdivost se zdá mít za důsledek jejich nepravdivost a naopak. Říká se, že Kréťan Epimenides prohlásil, že všichni Kréťané jsou lháři. Interpretujeme-li jeho výrok „Všichni Kréťané jsou lháři“ jako „Všechny výroky vyslovené Kréťany jsou nepravdivé“ a předpokládáme-li, že všechny výroky vyslovené Kréťany kromě inkriminovaného Epimenidova výroku skutečně nepravdivé jsou, bude tento výrok výrokem právě takového paradoxního druhu. Předpokládáme-li totiž, že je Epimenidův výrok pravdivý, pak tím předpokládáme, že je pravda to, že všechny výroky vyslovené Kréťany jsou nepravdivé (protože to je to, co tento výrok říká), a tudíž musí být nepravdivý i on sám (neboť ho pronesl Epimenides, a Epimenides je Kréťan); a předpokládáme-li naopak, že Epimenidův výrok pravdivý není, pak musí platit, že ne všechny výroky vyslovené Kréťany jsou nepravdivé, a protože nepravdivost všech ostatních výroků předpokládáme, musí nutně nebýt nepravdivý výrok Epimenidův.

     Jednodušší variací na totéž téma je výrok „Teď právě lžu“. Představme si, že tento výrok vyslovím a předpokládejme, že mám pravdu. Pak je pravda, že lžu, a tedy to, co říkám, není pravda. Jestliže naopak předpokládám, že to, co říkám, pravda není, pak musí platit, že nelžu, a že tedy to, co říkám, je pravda. Můj výrok je tedy nepravdivý, jakmile je pravdivý, a naopak. Tato skutečnost bývá označována jako paradox lháře.

     Výroky toho druhu, jako je ten, který zakládá tento paradox, budeme nazývat sebevyvracejícími. Sebevyvracejícím výrokem bude tedy takový výrok, z jehož pravdivosti vyplývá jeho nepravdivost a naopak. Zvláštní případ sevevyvracejícího výroku vzniká za pomoci toho, čemu by se dalo říkat sebevylučující přísudek. Vysvětleme, o co jde.

     Typický jednoduchý výrok se skládá z nějakého podmětu, který je možné chápat jako označení nějaké věci, a z přísudku, na který je možné se dívat jako na vyjádření nějaké vlastnosti. Takový výrok je pak pravdivý, má-li předmět označovaný jeho podmětem skutečně vlastnost označovanou jeho přísudkem. Tak výrok „Praha je město“ je pravdivý, jestliže Praha, která je označována podmětem „Praha“, má vlastnost být městem, která je vyjadřována přísudkem „je město“. Vlastnosti ovšem mohou být, jak se zdá, přisuzovány i vlastnostem: tak výrok „Být městem je čest“ přisuzuje vlastnosti být městem vlastnost být ctí. Uvažme nyní vlastnost vlastností mít sebe sama: vlastnost, kterou nějaká vlastnost má, právě když má sebe sama. Tak například vlastnost být rohatý tuto vlastnost nemá (vlastnost být rohatý jistě není rohatá), zatímco vlastnost být vlastností tuto vlastnost má (protože vlastnost být vlastností je vlastnost). Uvažme nyní dále vlastnost nemít sebe sama: vlastnost, kterou nějaká vlastnost má, právě když nemá sebe sama – označme tuto vlastnost zkráceně jako NSS. Vytvoříme-li nyní výrok, v němž připíšeme NSS sobě samotné, to jest výrok

 

     (*) NSS má NSS,

 

bude tento výrok pravdivý, právě když bude nepravdivý – jde tedy o sebevyvracející výrok.

     Abychom nahlédli, proč tomu tak je, předpokládejme nejprve, že je (*) pravdivý.  Pak musí platit to, co tento výrok říká, a vlastnost nemít sebe sama tedy nemá sebe sama, tj. nemá vlastnost nemít sebe sama – a (*) tedy musí být nepravdivý. Jestliže ji ale nemá, pak musí být výrok, který ji tuto vlastnost připisuje, nepravdivý - tímto výrokem je ale právě výrok (*). Předpokládejme nyní naopak, že je (*) nepravdivý. To znamená, že vlastnost nemít sebe sama má sebe sama, tj. má vlastnost nemít sebe sama. Pak je výrok, který ji tuto vlastnost přisuzuje, to jest výrok (*), nutně pravdivý.

     Tento paradox je znám v celé řadě variant. Jednu obzvláště zdařilou je následující: Bůh, jak známo, pomáhá těm, kdo si pomáhají sami. Ďábel dělá samozřejmě všechno naopak než Bůh, a tudíž pomáhá těm, kdo si sami nepomáhají. Otázkou nyní je: pomáhá Ďábel sám sobě?

 

 

Noční můra Gottloba Frega

Koneckonců, co je to lež? Není to nic než pravda pod maškarou

Lord Byron: Don Juan

 

Paradoxy tohoto druhu ukazují, že pokud jde o pravdivost, připomíná náš jazyk poněkud zrádný terén, na němž se musíme pohybovat s jistou obezřetností. A to může být značnou překážkou, chceme-li na jeho základě něco zbudovat – třeba vědecké teorie. Jednou z možností, jak se s tím vypořádat, je vykolíkovat nějaký pozemek, jehož nosnost důkladně přezkoušíme, a omezit se při stavbě na něj. Takovým způsobem se snažili postupovat i někteří filosofové a zejména logici, kteří chtěli pro naši vědu a obecněji naše racionální aktivity zajistit pevnou půdu.

     Touto myšlenkou byl veden i německý matematik Gottlob Frege, jedna z klíčových postav zrodu moderní logiky, když sestavoval to, čemu začal říkat pojmové písmo a co se stalo předobrazem jazyků moderní formální logiky. Frege se pokusil vybudovat jazykový rámec, který by byl matematicky přesný a tudíž i matematickými metodami studovatelný a přezkušovatelný. Snažil se tak především vytvořit prostor pro formulování našich poznatků v axiomatické podobě a o přesné vymezení způsobu odvozování teorémů z těchto axiomů (na což pak navázal právě Hilbert) – tak, doufal, odpadnou spory o to, zda je něco prokázáno a tudíž pravdivé, nebo ne[4].

     Frege se přitom cítil jako pokračovatel Leibnize. O svém univerzálním pojmovém písmu píše: „Uskutečnění Leibnizovy myšlenky pro jednotlivé oblasti můžeme vidět v aritmetických, geometrických a chemických značkách. Zde navržené pojmové písmo k tomu přidává novou oblast, a sice takovou, která leží uprostřed a souvisí tak se všemi ostatními.“ A k tomu dodává: „Je-li úlohou filosofie zlomit moc slova nad lidským duchem  prostřednictvím odhalení omylů, které se týkají vztahů pojmů a které v důsledku užití jazyka vznikají často téměř nevyhnutelně, a to tím, že osvobodí myšlenky od toho, čím je zatěžuje čistě povaha výrazových prostředků, pak by mohlo být moje pojmové písmo, dále rozpracované pro tyto účely, filosofům užitečným nástrojem.“ V roce 1893 pak publikuje první díl svého obsáhlého spisu Základní zákony aritmetiky, ve kterém tento rámec použil k vytvoření symbolického jazyka aritmetiky; s jeho pomocí pak klade základy symbolické matematiky budované more geometrico a vylučující jakékoli pochybnosti. Alespoň to tak vypadalo.

     Situace však, jak se ukázalo, nebyla tak jednoduchá. První, kdo si toho povšiml, byl tehdy mladý filosof a matematik Bertrand Russell. Ten Fregovi krátce před vydáním druhého dílu Základních zákonů aritmetiky posílá dopis, ve kterém upozorňuje na to, že ve Fregově jazyce, zdánlivě zbaveném všech zrádností jazyka přirozeného, lze zformulovat to, co jsme my výše nazvali sebevylučujícím predikátem. Konkrétně, píše Russell, je možné v rámci Fregova pojmového písma vytvořit pojem P, pod který spadají pojmy, a to sice ty, které nespadají pod sebe sama. Pro každý pojem p tedy platí, že spadá pod pojem P právě když nespadá pod sebe sama. To ale znamená, že v pojmovém písmu lze formulovat i sebevyvracející výrok typu výroku (*) z našeho předchozího oddílu, totiž výrok, že  P spadá pod sebe sama. Je-li však možné něco takového, hroutí se samotné základy Fregova projektu: jakmile si nemůžeme být jisti, že se v jeho systému pravdivost a nepravdivost vylučují, nedává žádný důkaz dobrý smysl. Dokážeme-li totiž, že je něco pravda, nevylučujeme tím v takovém případě, že je to nepravda.

     Uprostřed prostoru pečlivě vykolíkovaného pro stavbu vědy se tedy opět objevila trhlina. Frege si hloubku celého problému okamžitě uvědomil a nijak ji nezastíral. „Váš objev rozporu,“ odpovídá Russellovi bez prodlení, „mně způsobil největší překvapení, a řekl bych skoro zděšení, protože otřásl základy, na kterých jsem chtěl budovat aritmetiku.“ V dodatku ke druhému dílu Základních zákonů aritmetiky pak dodává: „Co je zpochybněno, není můj způsob budování aritmetiky, ale to, zda je vůbec možné dát aritmetice logické základy.“

     Selhání Fregova pokusu mělo být Hilbertovi (který byl Fregovým mladším, avšak ve své době slavnějším současníkem), když předestíral svou vizi matematického polapení pravdy, varováním: jazyk se nevzdává tak snadno, jak by si někdo mohl myslet. Avšak nebylo; a překvapení, které jemu i ostatním logikům způsobilo zjištění, že je tato vize neuskutečnitelná, tedy nebylo menší, než Fregovo zděšení nad Russellovým objevem.

 

 

Překvapivý objev Kurta Gödela

Cesta paradoxů je cestou pravdy. Abychom Skutečnost vyzkoušeli, musíme ji vidět na provazochodeckém laně. Pravdy můžeme posuzovat, když se stanou akrobaty.

Oscar Wilde: Obraz Doriána Graye

 

Vraťme se k Hilbertově myšlence číslování. Tím, že výroky očíslujeme, každé vlastnosti výroků v jistém smyslu přiřadíme vlastnost čísel a naopak: tak například vlastnosti začínat slovem ‘Zítra’ přiřadíme vlastnost být číslem výroku začínajícího slovem ‘Zítra’; a naopak vlastnosti být sudým číslem vlastnost být výrokem se sudým číslem. Není ale vlastnost jako vlastnost: vlastnost být číslem výroku začínajícího slovem ‘Zítra’ očividně není ‘přirozenou‘ vlastností čísel, jakou je třeba vlastnost být sudým. A takové ‘přirozené’ – nebo říkejme raději početní – vlastnosti čísel budou zřejmě odpovídat jenom některým vlastnostem výroků: to, že by každému výroku začínajícímu slovem ‘Zítra’ odpovídalo třeba číslo, které je prvočíslem, či že by každé větě, která je v Kafkově Procesu, odpovídalo číslo dělitelné číslem 13, by se sice stát mohlo, stěží to ale můžeme předpokládat obecně. Jak už jsme řekli, bude to, jakým způsobem si budou vlastnosti výroků odpovídat s vlastnostmi čísel, záviset na tom, jak výroky očíslujeme: při jednom očíslování mohou mít čísla všech výroků nějakého typu společnou nějakou početní vlastnost, při jiném ne.

     Brněnský rodák Kurt Gödel, klíčová postava matematické logiky dvacátého století[5], však dokázal, že výroky můžeme očíslovat tak, aby pro každou početní vlastnost (kterou, zjednodušeně řečeno, vymezil jako vlastnost vyjádřitelnou v našem jazyce prostřednictvím jeho matematického výraziva[6]) existoval výrok, jehož číslo tuto vlastnost má, právě když je tento výrok pravdivý. Je-li tedy například S vlastnost být sudým číslem, pak bude existovat výrok V, jehož číslo bude sudé právě tehdy, když bude platit V. Výrok V tedy bude pravdivý právě tehdy, když bude jeho číslo sudé – takže vlastně bude jakoby sám o sobě říkat já mám sudé číslo.

     Představme si nyní, že by číselným korelátem vlastnosti být pravdivý byla nějaká početní vlastnost. To znamená, že bychom měli vlastnost, kterou by mělo číslo výroku právě tehdy, když je tento výrok pravdivý. Potom by ale nutně musel být početní vlastností i korelát vlastnosti být nepravdivý (negace početní vlastnosti je opět početní vlastnost – máme-li početní vlastnosti být sudý, tak jistě i její negace, nebýt sudý čili být lichý, je také početní). A podle toho, co Gödel dokázal, by musel existovat výrok V tak, že by jeho číslo tuto vlastnost mělo právě tehdy, když by platil V. Výrok V by tedy vlastně o sobě říkal: mé číslo je číslem nepravdivého výroku, nebo zkráceně já jsem nepravdivý.

     Takový výrok by byl zřejmě sebevyvracející; a provedení matematizace, o které snil Leibniz, by se tedy definitivně ukázalo vést k další trhlině. Naštěstí tu ale není nic, co by nás nutilo přijmout předpoklad, že je korelát vlastnosti být pravdivý početní. Můžeme to zformulovat (spolu s Alfredem Tarskim) přímo tak, že má-li být nějaký jazyk prostý sporu, nemůže být v jeho rámci korelát vlastnosti být pravdivý početní[7].

     Gödel ovšem zároveň ukázal, že početní zaručeně musí být korelát vlastnosti být dokazatelný. (To je dáno tím, že dokazování je založené na operování se syntaktickými formami výrazů, a to lze převést na početní operace s příslušnými čísly.) Takže nutně musí existovat výrok, který sám o sobě říká já jsem nedokazatelný. Tento výrok ovšem nemůže být dokazatelný, protože kdyby byl, bylo by tím dokazatelné, co říká, totiž že je nedokazatelný, a on by tudíž musel být nedokazatelný. Dokazatelná ale nemůže být ani jeho negace: protože kdyby byla, byla by dokazatelná negace toho, co říká, totiž bylo by dokazatelné, že je tento výrok dokazatelný, a tudíž by musel být dokazatelný. Tento výrok je tudíž dokazatelný právě tehdy, když je dokazatelná jeho negace.

     Tohle však naštěstí ještě není paradox, máme totiž únikovou cestu: můžeme tento závěr brát jako redukci ad absurdum předpokladu, že je tento výrok dokazatelný či vyvratitelný (to jest že je dokazatelná jeho negace). Plyne z toho ovšem to, že pro náš jazyk nikdy nemůžeme stanovit úplný axiomatický systém. (Obecněji ho nemůžeme stanovit pro žádný jazyk, který je natolik bohatý, aby v něm bylo lze vyjádřit elementární aritmetiku.) To je ovšem zjištění, které je, mírně řečeno, překvapivé – pro Gödelovy současníky bylo dokonce tak neočekávané, že i těm nejbystřejším z nich nějaký čas trvalo, než si uvědomili šíři jeho dosahu. Definitivní vyvrácení možnosti realizace Hilbertova programu bylo jenom jedním z jeho důsledků.

     Gödelův výsledek bývá různými amatérskými a profesionálními vykladači interpretován nejrůznějším způsobem[8]. Já chci poukázat na to, že ho můžeme nahlížet i jako odhalení zcela nečekané obranné linie jazyka, která nám nedovoluje zmocnit se pravdivosti způsobem, který by zkratkou obešel běžné mechanismy hledání pravdy. A dále bych chtěl upozornit na to, že tato obranná linie je zbudována pomocí ohromující magie čísel – je totiž založena na faktu, že nedokážeme vybudovat jazyk, který by byl dostatečně netriviální, aniž bychom ho vybavili elementární aritmetikou, která mu ovšem současně dodá prostředky dostatečné pro vybudování sebevyvracející pasti, do které bychom se chytili, jakmile bychom vytvořili proceduru, jak rozpoznat pravdivost na základě formy.