V letošním roce uplynulo 90 let ode dne, kdy se v Brně narodil geniální německý logik a matematik Kurt Gödel; člověk, který způsobil v moderní matematické logice převrat hlubší než byl ten, k jakému došlo v moderní fyzice díky lidem jako byli Einstein, Heisenberg a Bohr. Během svého života, stráveného z větší části nejprve ve Vídni a potom v Princetonu v USA, publikoval celou řadu prací, které měly pro matematickou logiku zcela zásadní význam; oním skutečným mezníkem, který mu zajistil trvalé místo nejen v Pantheonu logiků a matematiků, ale i mezi velikány lidského myšlení vůbec, však byl jeho důkaz “neúplnosti formální aritmetiky”.
Když teprve čtyřiadvacetiletý Gödel tento výsledek, ke kterému se dopracoval ve své disertační práci, poprvé přednesl (bylo to 7. září 1930 na konferenci v Královci), nevzbudil mezi svými slavnějšími kolegy žádnou zvláštní pozornost. Nikdo z přítomných veličin matematické logiky ještě neviděl, že to, k čemu Gödel dospěl, je bezesporu nejpozoruhodnějším objevem v historii moderní matematické logiky (a pravděpodobně moderní matematiky vůbec), že to nezvratným způsobem staví na hlavu podstatnou část do té doby všeobecně přijímaných představ o logice. To, co tehdy čtyřiadvacetiletý mladík dokázal, totiž bylo tak překvapivé a tak převratné, že i těm nejbystřejším z jeho současníků nějakou dobu trvalo, než si to dokázali srovnat v hlavě.
Z historie matematiky ovšem známe celou řadu důkazů, které vzbudily velkou pozornost - z posledních desetiletí jmenujme například důkaz toho, že jakoukoli mapu lze obarvit čtyřmi barvami tak, aby se nikde nestýkaly plochy stejných barev (nalezený v roce 1976 pomocí počítače), či důkaz tzv. poslední Fermátovy věty, tj. tvrzení, že je-li n>2, pak neexistují čísla x, y a z tak, aby platilo xn+yn= zn (P. de Fermat tohle údajně dokázal před tři a půl stoletím; a důkaz byl pak matematiky marně hledán až do roku 1993). Tyto a podobné důkazy jsou ale slavné nikoli proto, že by ukazovaly něco převratného, ale spíše proto, že dokazují věci, které jsou na pohled jednoduché až banální, a přesto se je dlouho dokázat nedařilo (o platnosti Fermatovy věty nikdo příliš nepochyboval, její důkaz byl jenom dokladem geniální matematické obratnosti jeho autora). Gödelův důkaz je jiného druhu - ten ukazuje něco, co nikomu předtím ani nepříšlo na mysl, a zcela tím rozvrátil dosavadní názory na povahu matematické logicky a na základy matematiky. Tento důkaz navíc vzbudil nebývalý ohlas mimo matematiku - má se obecně za to, že nám říká něco podstatného nejenom o povaze matematiky, ale o povaze lidského myšlení vůbec. Takže důsledkům Gödelovy věty se dnes z velké části věnuje nejenom každá učebnice matematické logiky - s jejich rozborem se pravidelně setkáváme i v pojednáních o teoriích poznání, o povaze lidského myšlení, o umělé inteligenci atd. Co to tedy Gödel vlastně vynesl na světlo?
Abychom na tuto otázku mohli odpovědět způsobem srozumitelným člověku neškolenému v logice, musíme nejprve shrnout, o co v logice jde. Logika, můžeme říci, se zabývá tím, jak lze pravdivost některých tvrzení odvodit z pravdivosti jiných tvrzení. Jejím cílem je poskytnout kritéria pro hodnocení správnosti argumentování, odůvodňování a dokazování. Je zřejmé, že pro cokoli, co můžeme mít smysluplně za pravdu a co přitom není naprosto zřejmé, musíme mít nějaké odůvodnění či důkaz; a důkazem nějakého poznatku, který není sám o sobě zřejmý, nemůže být nic jiného, než jeho odvození z něčeho, co už zřejmé je. Logika si klade za cíl být arbiterm toho, co je skutečným odvozením, a co jím není; a tedy co je správným důkazem, a co ne. Logika tedy formuluje kritéria odvoditelnosti a tím dokazatelnosti. A do té míry, do jaké je dokazatelnost podmínkou pravdivosti, jsou tato kritéria i kritérii pravdivosti.
Jestliže nám ale logika dokáže říci, co všechno lze z daných výroků odvodit, pak se zdá, že jakákoukoli teorii (soustavu poznatků) můžeme zredukovat na to, co tvoří její bezprostřední východisko - na ty základní poznatky, které jsou v jejím rámci brány jako nezpochybnitelné pravdy. Logika nám pak dokáže obstarat všechno ostatní, totiž vyvodit z těchto výchozích tvrzení všechno, co z nich vyplývá, a co tedy tvoří “tělo” příslušné teorie. A protože o takových nezpochybnitelných výchozích principech dané teorie se hovoří jako o jejích axiomech, hovoří se o zredukování teorie na taková východiska jako o její axiomatizaci. (U empirických teorií, s jakými se setkáváme v přírodovědě, můžeme za axiomy považovat nějaké základní záznamy bezprostředních pozorování - jejich nepochybnost spočívá v tom, že se o nich lze přesvědčit “na vlastní oči”. U teorií matematických jsou východiskem triviální tvrzení typu 1+0=1. Důležitost logiky je zcela zřejmá především v případě těch druhých - těžištěm matematických teorií nemohou být výchozí triviality, ale netriviální tvrzení, která z nich vyplývají.)
Historicky první matematickou disciplínou, kterou se matematikové snažili axiomatizovat, byla geometrie: za první pokus v tomto směru můžeme považovat už pojednání starořeckého matematika Eukleida; v rámci moderní matematiky se pak o vylepšenou axiomatizaci pokusil německý matematik David Hilbert. Za vzorový příklad axiomatizované teorie je ale od konce minulého století považováno axiomatické zachycení nejelementárnější části matematiky, aritmetiky (tj. teorie přirozených čísel a jejich sčítání a násobení), které vychází z pojednání italského logika a matematika Giuseppa Peana. Peanovskou axiomatizaci aritmetiky tvoří následujících osm axiomů (uvádíme je v neformální podobě):
(1) Jsou-li si dvě daná čísla x a y rovna, jsou si rovna i čísla x’ a y’, která po nich bezprostředně následují.
(2) Nula nenásleduje po žádném čísle.
(3) Jsou-li si rovna čísla x’ a y’, následující po dvou daných číslech x a y, jsou si rovna i čísla x a y.
(4) Přičtením nuly k číslu x dostaneme x.
(5) Přičtením čísla y’ (následujícího po číslu y) k číslu x, dostaneme číslo (x+y)’ následující po součtu čísel x a y.
(6) Vynásobením čísla x nulou dostaneme nulu.
(7) Vynásobením čísla x číslem y’ (následujícím po číslu y) dostaneme součet součinu (x.y) čísel x a y s číselm x.
(8) Má-li nějakou vlastnost číslo nula a přenáší-li se tato vlastnost z každého čísla na číslo po něm následující, pak tuto vlastnost mají všechna čísla.
Tyto axiomy byly od té doby obecně přijaty jako rozumné a vyčerpávající vyjádření principů aritmetiky; a veškeré představitlené pravdy aritmetiky se z nich skutečně zdály být odvoditelné. (Ukažme si například, jak bychom z nich dokázali, že 1+1 je 2: 1 je zřejmě číslo následucící po nule, tudíž přičtení jedničky znamená přičtení čísla 0’ následujícího po nule. Ale podle axiomu (5) dostaneme přičtením čísla 0’ k číslu 1 číslo (1+0)’ následující po součtu jedničky a nuly; a protože podle axiomu (4) je součtem jedničky a nuly jednička, dostaneme číslo následující po jedničce, tedy dvojku.)
Moderní logika, odvíjející se od konce minulého století od prací Peana, Georga Boola, Gottloba Frega a dalších, objevila, že velkého pokroku ve studiu vyplývání a dokazování můžeme dosáhnout, vyjádříme-li studované teorie v nějakém přesně vymezeném formálním jazyce, který bude oproštěn od všeho toho, co není podstatné z hlediska odvozování (matematika k něčemu takovému ovšem směřovala už dávno sama od sebe). Další podstatný krok učinil Hilbert: ten poukázal na to, že máme-li takto namísto vět formule přesně definovaného formálního jazyka, můžeme na teorie samotné pohlédnout jako na matematické objekty a odvozování a dokazování nahlédnout jako matematický vztah studovatelný (elementárními) matematickými metodami. To vedlo k pozoruhodné vizi redukce “vysoké” matematiky na matematiku elementární - otázka pravdivosti jakéhokoli tvrzení “vysoké” matematiky se zdála být otázkou jeho dokazatelnosti, a otázku dokazatelnosti pak Hilbert převedl na otázku existence určitého vztahu mezi matematickými objekty (axiomy a tvrzením) - což byl podle něj problém řešitelný v rámci elementární matematiky.
To se ovšem zdá poněkud vzpírat zdravému rozumu; a jedním z důsledků Gödelovy věty je to, že tady je třeba dát zdravému rozumu za pravdu. Co Gödel dokázal, bylo, že Peanovská aritmetika (PA) je neúplná v tom smyslu, že existuje výrok jazyka aritmetiky, který není z jejích axiomů ani dokazatelný, ani vyvratitelný (tj. není dokazatelný jeho opak). Máme-li za to, že každý takový výrok musí být buďto pravdivý nebo nepravdivý, což se zdá být zřejmé, musíme učinit závěr, že existuje výrok, který je pravdivý, který ale nelze dokázat. To by ovšem samo o sobě nebylo nijak problematické - mohlo by totiž jít prostě jenom o to, že soustava axiomů PA přece jenom ještě není vyčerpávající, že je třeba k ní ještě něco přidat. Gödel ovšem dokázal, že neúplnost přetrvává, i když přidáváme jakékoli další axiomy (pokud ovšem nepřidáme nějaký axiom, který by těm ostatním odporoval, protože by šlo triviálně dokázat, ale i vyvrátit naprosto všechno). Z toho plyne mimo jiné to, že se nikdy nemůžeme spolehnout na to, že je-li nějaká matematická formule dokazatelná, pak to budeme skutečně schopni prostředky elementární matematiky zjistit - a program hilbertovské redukce “vysoké” matematiky na matematiku elementární se hroutí. Gödelův výsledek navíc platí nejenom pro samotnou PA, ale pro každou teorii, která má dost prostředků na to, aby v ní bylo lze aritmetiku (tj. sčítání a násobení přirozených čísel) vyjádřit - a to zřejmě platí pro jakoukoli teorii, která není zcela triviální.
Proč tomu tak je? Abychom osvětlili tohle, vraťme se k paradoxu, kterým se logikové zabývají už od antiky, k tzv. paradox lháře. Představme si, že někdo řekne Teď právě lžu. Lže, nebo mluví pravdu? Jestliže lže, pak musí být to, co říká, nepravdivé; tedy musí být nepravdou, že lže, a on tudíž mluví pravdu. Jestliže naopak mluví pravdu, pak musí být to, co říká pravdivé, tedy musí být pravda, že lže, a on tudíž lže. Z pravdivosti “lhářovy věty” tedy vyplývá její nepravdivost a naopak. Paradox lháře obecně vzniká tehdy, když máme větu, která tvrdí svou vlastní nepravdivost, tj. když máme větu V, která říká V je nepravda. (Podrobně se paradoxem lháře zabývá například Hilary Putnam - viz jeho článek v knížce Co po metafyzice?, která se připravuje v nakladatelství HYNEK.)
Polský logik Alfred Tarski, Gödelův současník, který pojem pravdivosti matematicky analyzoval, dospěl na základě rozboru paradoxu lháře (a dalších, podobných paradoxů) k závěru, že jazyk, nemá-li být rozporný, nemůže být schopen ve všech ohledech vyčerpávajícím způsobem pojednávat sám o sobě; konkrétně že rozporný je nutně každý (netrivální) jazyk, ve kterém lze o každém jeho vlastním pravdivém výroku říci, že je pravdivý. Tarského závěrem bylo, že o pravdivosti výroků nějakého jazyka můžeme explicitně pojednávat jedině v rámci nějakého jiného, “bohatšího” jazyka (a že tedy i náš přirozený jazyk není “ve skutečnosti” jediným jazykem, ale jistou hierarchií jazyků, z nichž každý je schopen pojednávat o těch “pod” ním).
Tarského z matematického hlediska zajímavý závěr se ovšem nezdál být z hlediska koncipování formálních jazyků a budování teorie dokazování nijak “nepříjemný”: nezdálo se, že bychom k něčemu potřebovali formální jazyk, v němž by bylo lze hovořit o něm samém - potřebujeme-li se zabývat nějakým jazykem (třeba studovat, tak jak to chtěl Hilbert, nějaké vztahy mezi jeho výroky), nezdá se být žádný důvod, proč bychom to nemohli činit v rámci jiného jazyka. Zdálo by se tedy, že na jazyky, pojednávající samy o sobě, a s nimi na paradoxy, můžeme prostě zapomenout.
Pointu Gödelova důkazu nyní můžeme vyjádřit tak, že tohle není pravda - že jazyk PA v jistém smyslu je “sám o sobě” - a to ať chceme, nebo ne. Myšlenka je to docela jednoduchá: PA pojednává o číslech, a protože výroky PA můžeme očíslovat, můžeme PA interpretovat jako pojednávající o svých vlastních výrocích (prostřednictvím jejich čísel) - tak výrok, který něco říká například o číslech m a n, pak interpretujeme jako hovoříci o m-tém a n-tém výroku PA. Sama možnost takové interpretace by samozřejmě ještě nebyla ničím převratným; Gödel ovšem ukázal (a to je tím podstatným jádrem tohoto důkazu), že takto nahlédnuta dokáže PA vyjádřit dokazatelnost svých vlastních výroků a že v ní existuje i výrok, který tvrdí svou vlastní nedokazatelnost (tj, výrok V, který z tohoto pohledu tvrdí V je nedokazatelný). Z toho už přímo plyne tvrzení Gödelovy věty: výrok V, který říká, že V je nedokazatelný, totiž nemůže být dokazatelný, ani vyvratitelný. Kdyby totiž byl dokazatelný, pak by byl pravdivý (protože by vyplýval z axiomů, které máme za nepochybné), a pak by tedy bylo pravdou to, co říká, totiž to, že V není dokazatelný. Kdyby byl V naopak vyvratitelný, tj. kdyby byl dokazatelný jeho opak, který říká, že V je dokazatelný, pak by musela být naopak pravda, že V je dokazatelný a V by musel být dokazatelný. Jestliže tedy z pravdivosti “lhářova výroku” vyplývá jeho nepravdivost a naopak, pak z dokazatelnosti “gödelovského výroku” vyplývá jeho nedokazatelnost, a z jeho vyvratitelnosti vyplývá jeho dokazatelnost - tady ovšem není výsledkem paradox, ale závěr, že “gödelovský výrok” nemůže být ani dokazatelný, ani vyvratitelný. (Pokud někoho v tomto místě napadne, že analogicky bychom mohli i paradoxu lháře uniknout tak, že bychom řekli, že “lhářův výrok” není ani pravdivý, ani nepravdivý, pak je tomu skutečně tak - problém je ovšem v tom, že paradox lháře lze modifikovat tak, že už tento únik možný nebude.)
Výrok V, tvrdící svou vlastní nedokazatelnost, je přitom zřejmě pravdivý - to, co říká, totiž že V je nedokazatelný, je totiž, jak jsme právě viděli, pravda. V jazyce PA, a obecněji v jakémkoli netriviálním jazyce, tedy nejen existuje výrok, který je pravdivý, ale není dokazatelný, existuje dokonce výrok, o kterém víme, že je pravdivý, a který přitom není dokazatelný. Výsledkem tedy není jenom to, že se hroutí sen o převedení pravdivosti na dokazatelnost; hroutí se i související přímočaré představy o povaze lidského uvažování a lidského rozumu. Způsob, jak se člověk dobírá pravd prostě nemůže spočívat v tom, že podle jednou provždy daných pravidel (takových, jaké kanonizuje logika) vyvozuje důsledky z výchozích principů.
Tohle je ovšem možné interpretovat různými způsoby. “Radikálně” to lze interpretovat tak, že existují-li výroky, které jsou pravdivé, ale nikoli dokazatelné, pak je způsob, jakým funguje lidský rozum, “nealgoritmický” (Roger Penrose) a tak pro nás v podstatě nepostižitelný. To může vést až k různým formám mysticismu; v každém případě je to vděčný námět pro nekonečné filosofické spekulace. “Umírněnějsí” interpretace může být založena na přesvědčení, že mít něco netriviálního za pravdu prostě znamená mít pro to důvody, tj. moci to odvodit z něčeho nepochybného (v každém případě ve vědě a tím spíše matematice); a že tudíž i pro gödelovský nedokazatelný výrok, víme-li o něm, že je pravdivý, musíme mít nutně nějaký “důkaz”. Z toho pak ovšem plyne, že matematický termín důkaz, tak jak našel vyjádření v fregovsko-hilbertovské teorii důkazů, nemůže zcela postihovat to, co je jako důkaz bráno intuitivně. Konkrétně se zdá, že zatímco matematické chápání dokazování je postaveno na pevné soustavě odvozovacích pravidel, soustava pravidel, o které se ve skutečnosti opírá náš rozum, je zásadním způsobem “otevřená” (Michael Dummett).
Gödelův důkaz je v každém případě ukázkou matematického “skoku do příštího století”. Je výsledkem toho, že Gödel mnohem dříve než kterýkoli jiný logik pochopil celou povahu moderní formalizace logiky; pochopil, že formální logiku není možné zcela proniknout bez přísného rozlišování mezi znakem a označovaným i mezi jazykem kterým hovoříme, a tím, o kterém hovoříme; a ukázal, k jak překvapivým výsledkům takové proniknutí vede. Pro lidi, kteří vidí paralely mezi matematikou a uměním, je Gödelův důkaz artefaktem nevyčerpané fascinace (Douglas Hofstatter ho ve své slavné knize Gö del, Escher, Bach přirovnává ke kreacím dvěma velkých postav umění.) Gödel sám pak představuje příklad rozumu vymykajícímu se veškerým normám a překračujícím veškeré meze - meze schopností pronikat do hloubi matematických problémů, ale i meze dané společenskými konvencemi (traduje se například, že když měl po svém příchodu do Spojených států vykonat pohovor s imigračním úředníkem a při něm osvědčit znalost ústavy USA, nikdo ho nedokázal přesvěšdčit, aby úředníkovi nevytkl “logickou chybu”, kterou v ústavě údajně našel a která podle něj umožňovala změnit Spojené státy demokratickou cestou v diktaturu); a nakonec ovšem i meze, kladené pudem sebezáchovy (v roce 1978 skončil Gödel svůj život tím, že propadl paranoidní představě, že se ho někdo snaží otrávit, a zcela přestal přijímat stravu). Gödelova cesta do hlubin lidského rozumu tak po propátrání úžasného bludiště lidského usuzování a uvažování skončila v propasti lidského zoufalství.